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谁说做硬件的玩不转数学:大神教你用示波器解微分方程

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发表于 2019-9-25 13:56:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
微积分方程拉开了现代数学和现代物理的但我,必须不能让各位一脸懵逼的出去。
微分的解释在书上说的很详细,各种啪啪啦啦的描述,我可以详细的把他们摘录下来。但这明显有违我的初衷,因为我摘录下来很多人也看不懂,包括我自己。但从各种书刊论文的字里行间中我隐约地看出两个字符,那就是dy/dx
我们可以认为一个函数在某一点的微分方程解就是该点的Y向量除以该点的X向量。
1.      
导数微分的描述为dy/dx。
2.      
3.      
微分,实质还是极限。
4.      
示波器可以极快的分割波形的X和Y向量,所以可以用示波器来验证波形的微分方程解。
我选用FreeTest的示波器来做详解。大家也可以称它为"牛顿.莱布尼兹.示波器"。
1.jpg
Freetest无线示波器
# z0 D& p, }& f3 t" u9 E( O

1 T* l. s& g& R
SIN的微分解
先来上一个基础的sin(a)波形。这个大家应该都知道微分方程解是cos(a)。什么?你不知道,那就假装知道吧,给我一个台阶下。
2.jpg
示波器内置的数学运算
* m. j$ d0 C( p% L
2 }% p$ U0 L; P7 O: V
图中,蓝色波形是采集的sin正弦波信号,红色是经过示波器微分处理后的cos信号。
详细的数学求解公式来一波。学霸的往下看,和我一样是学渣的直接跳过看结果。
<sin的微分求解过程开始>
(sina)'=lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b
因为sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
这里b无穷小,有cosb=1.
于是lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b
=lim(b->0)[cosasinb]/b
当b无穷小,有sinb/b=1.所以
lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b =cosa
<sin的微分求解过程完成>
结论:和示波器显示的完全一样,cos(a)。
直线的微分解
我们知道常量的微分解是0,那么,直线的微分解呢?
3.jpg
测量直线波形并求微分(三角波的一个斜率)
+ q% U# X( _7 }7 F/ i4 T
$ Q! ^' i* b! i
结论:直线的微分方程是一个常量。
这个的求解过程我就不发出来了,怕被各位嘲笑。
三角波的微分解
三角波是由两条直线组成,按照直线的微分是一个常量的描述,那么三角波的微分就应该是两个不同的常量间隔组成。来,上图验证下。
4.jpg
三角波及其微分运算结果

0 Y; @, |' O+ Q2 |) s9 V
0 m! J: i$ S" M+ u
结论:三角波的微分是个方波。
方波的微分解
方波可以认为是常量加跃变合成的波形,按照"微分,实质还是极限"这个定义来看,常量部分应该是0,然后上升沿部分应该是个正脉冲,下降沿部分应该是个负脉冲。
5.jpg
方波及其微分运算结果

% b% P( O: @: U1 J

. g3 R9 \* x; b" U$ d$ f+ l
结论:上面的推论是正确的。
指数的微分解
指数函数稍微复杂点。
6.jpg
指数函数及其微分运算结果

( Z9 `5 j+ Q# t+ O( h7 h" d

7 ]* z5 ^2 y: C5 {4 h% P
我们排除跃迁部分,单看一个周期的指数函数。可以发现,红色微分波形其实也是一个指数函数,但变化幅度没有原本指数变化的快。
结论:指数函数的微分解为(a^x)'=a^xlna。
洛伦兹脉冲
高斯线型和洛伦兹线型是常用在光谱中描述峰形状的曲线。
洛伦兹线型函数的简单形式为:L=1/(1+x^2)。
7.jpg

8 n& K' T/ U# @9 p
' T0 G$ [* b/ ^0 Y  |1 U2 f2 D7 [! p
如上图所示。但微分方程我暂时不会解。
调频正弦波
8.jpg
结论:调频正弦波的微分解是个调频余弦波。这个大家可以尝试着思考下。

2 E# [3 E7 A* A: g0 O
5 q+ Z4 D, h4 N# W8 t3 y  Z; Q. l
我们再来看几个方程式比较复杂的波形,这个我就不简述他们的求解过程了。
辛克脉冲
9.jpg

$ [! T# f8 N. Y; X8 v* o% Q" n# B. r0 _* |. q
多级合成波
10.jpg

2 f, S6 G$ S$ ~7 k4 s: K
! B# t; ~+ @7 }* b8 W$ ~噪声
11.jpg
& |: v: ~* H) X" @5 V# Y

. K9 ^9 o& H: S5 w1 N& D
噪声其实是最复杂的方程组集合,当然其微分解也必然是各种方程组的集合。结果,看起来就又是一个噪声了。
-----------------
最后,看看使用的设备是什么:
12.jpg
13.jpg
泰思科技的无线示波器
5 ]0 `/ H+ p! \( e1 x9 I+ K" o$ S
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